Д.Гильберт, С.Кон-фоссен, Наглядная геометрия, Наука, 1981. М.М.Постников, Аналитическая геометрия. Семестр I, Наука, 1979. М.: Едиториал УРСС, 2004. Математика и миф сквозь призму геометрии. Произведения: Гильберт Д., Аккерман В. Основы теоретической логики.
Наглядная геометрия. Предисловие главного редактора Портала Знаний: Мы предлагаем вашему вниманию замечательную книгу Гильберта и Кон- Фоссена .
- Гильберт Д., Кон-Фоссен С. Книга представляет собой одно из лучших и исторически одно из первых популярных произведений по математике, написанных крупными математиками.
- Наглядная геометрия / Гильберт Давид; Hilbert David, Кон-Фоссен Стефан; Cohn-Vossen Stefan; Пер.с нем.
Традиция видения решения идет от древних греков. Такие геометрические представления очень полезны в современной аналитике. Мы дополнили книгу несколькими задачами, позволяющими читателю поупражняться в проведении рассуждений. Надеемся, что чтение избранных глав этой прекрасной книги доставит удовольствие читателям.
Если читатель по- настоящему увлечется геометрией, то можно познакомиться с несколькими главами из книги Евклида, отрывки из которой тоже можно найти на нашем портале. Предисловие автора В нашей книге это очень часто проявляется.
При большом разнообразии материала было все же необходимо придать каждой отдельной главе известную законченность и в последующих главах не предполагать полного знания предыдущих; путем отдельных маленьких повторений мы надеялись достигнуть того, что каждая отдель. Пусть читатель прогуливается в ог. Основу этой книги составили четырехчасовые лекции «Наглядной геометрии», которые я читал зимой 1. Кон- Фоссен многое переработал и частично расширил. Давид Гильберт Геттинген, июнь 1. Глава IПростейшие кривые и поверхности.
Плоские кривые. Простейшая поверхность — плоскость, простейшие кривые — плоские кривые, простейшая среди последних — прямая. Следующей — в порядке возрастания сложности — кривой является окружность. Уже эта кривая послужила исходной точкой для столь многочисленных и столь глубоких исследований, что они могли бы сами по себе заполнить содержание целого курса. Мы получаем окружность общеизвестным по.
А так как есть кратчайшее расстояние от до , то из соображений симметрии также должно быть кратчайшим расстоянием от до Следовательно, должно быть кратчайшим расстоянием между и , и, значит, линия не может иметь излома в точке , т. Точки закрепления нити называются фокусами эллипса. Рис. Построение с помощью нити показывает, что эллипс можно оп. Сближая фокусы, мы полу. Задача от главного редактора: как вы думаете, если направить луч из центра окружности, куда он отразится, если окружность представляет собой зеркало?
Вы направляете луч из фокуса зеркального эллипса, куда отразится этот луч? Представляя кривые зеркалами, попробуйте решить такие же задачи с другими кривыми, описанными в книге. Всем упомя. Они называются радиусами- векторами точки эллипса. Тому факту, что касательная к окружности перпендикулярна. Для доказательства (рис. Прямая , которая пересекается с касательной в некоторой точке, есть кратчайшее расстояние между и . Это свойство касательной к эллипсу находит применение в оптике, чем и объясняется название «фокусы».
Не так легко, как построение эллипса, хотя принципиально столь же просто, по. Для каждой точки или кривой (рис. Вид гиперболы наглядно показывает, что кривая эта всюду выпукла и имеет ка.
Так же, как и в случае эллипса, можно показать, что касательная к гиперболе делит пополам угол между радиусами- векторами, проведенными в точку касания (рис. Из эллипса с помощью предельного перехода можно полу. Для этого оставим один фокус, например и ближайшую к нему вершину эллипса неподвижными (вершинами эллипса называются точки пересечения кривой с прямой, соединяющей ее фокусы). Если теперь ввести новую постоянную, равную ( имеет постоянное значение для каждой кривой), то будем иметь: Это соотношение будет удовлетворяться с тем большей точностью, чем расстояние , а для предельной кривой оно будет вполне точно.
Рис. Таким образом парабола есть кривая, для точек которой сумма расстояний от некоторой определенной точки и некоторой определенной прямой постоянна или (что приводит к тому же) такая кривая, точки которой отстоят на рав. Если вообразить, что парабола представляет собой отражающее зеркало, то она должна отражать все лучи, падающие параллельно , в точку ; это также следует из предельного перехода. Мы рассмотрели семейство эллипсов, имеющих общую вер. Возьмем еще семейство гипербол, имеющих эти же взятые нами точки в качестве фокусов.
Это семейство также покрывает плоскость однократно и непрерывно. Так что через каждую точку плоскости проходят в точности две кривые системы, состоящей из софокус. В каждой точке (за исключением фо. Теперь, чтобы получить наглядное представление о нашей системе кривых (рис. Теперь мы переходим к самому отрезку , к которому непосредственно примыкают сперва очень сжатые эллипсы, кото.
Таким образом мы вторично заполняем всю плоскость. Другой, и притом исключительно простой, пример взаимно ортогональных семейств кривых представляют концентрические окружности и прямые, проходящие через их общий центр. Эту систему можно получить из предыдущей путем предельного перехода, заставляя сближаться оба фокуса. Линии уровня и линии наибольшего подъема на географиче.
Наконец, упомянем другое построение с помощью нити, приводящее к ортогональным семействам. Тогда конец нити опишет «эвольвенту» окружности.
Само построение наглядно показывает, что кривая перпендикулярна к одной из двух касательных к окружности, которые можно провести из какой- либо точки кривой. Можно получить бесконечное множество эвольвент той же самой окружности, если при разматывании нити начать с других точек окружности. Семейство эвольвент покрывает всю плоскость за исключением внутренности круга однократно и непрерывно.
Оно ортогонально к семейству полупрямых, касательных к окружности, взятых в определенном направлении обхода окружности. И вообще для любого заданного семейства прямых ортого. Мы вернемся еще к этому в дифференциальной геометрии (гл. Этот эллипс получается, если принять за значение суммы расстояний длину отрезка прямой, соединяющей фокусы.